线性代数笔记(二十六)——对称矩阵与正定性
这一节对对称矩阵下手，分解成特征值和特征向量的对角化，研究对称矩阵的性质，引出正定性。
对称矩阵与正定性
对称矩阵有很多特殊的性质，它们满足：
- \(A=A^T\)
- 能够找到彼此正交的特征向量。
根据此前掌握的特征分解知识，我们知道对于不同的特征值，分解得到的对应特征向量都是线性无关的。而对于特征值相同的情况，对称矩阵总是可以在零空间中找到彼此垂直的特征向量。
对称矩阵的对角化
根据上述两个性质，对称矩阵对角化便可拆解为：\(A=Q\Lambda Q^T\)，\(Q\)列向量也就是特征向量可以标准正交（模可标准化为1）。
实际上，A的对称性可以通过\(Q\Lambda Q^T\)看出，\((Q\Lambda Q^T)^T=(Q^T)^T\Lambda Q^T=Q\Lambda Q^T\)。
对称矩阵有一个非常重要的性质：对称矩阵的特征值都是实数。
可以用共轭来证明，由\(Ax=\lambda x\)，取共轭得到\(A\bar x =\bar \lambda \bar x\)（\(A\)是实数矩阵故不变），两边同时取转置：\(\bar x^T A=\bar x^T\bar \lambda\)，两边再同时乘上\(x\)，得到: \[ \bar x^T A x=\bar x^T\bar \lambda x \]
将\(Ax=\lambda x\)带入左侧，得到： \[ \bar x^T\lambda x=\bar x^T\bar \lambda x \]
因此，若\(\bar x^Tx \neq 0\)，则有\(\lambda = \bar \lambda\)，即特征值均为实数。
那么有没有可能\(\bar x^Tx = 0\)呢？我们展开来看： \[ \bar{x}^T x=\left[\begin{array}{llll} \bar{x}_1 & \bar{x}_2 & \ldots & \bar{x}_n \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_n \end{array}\right]=\bar{x}_1 x_1+\bar{x}_2 x_2+\cdots+\bar{x}_n x_n \]
其中每一项\(\bar x_ix_i\)都是\((a+bi)(a-bi)\)，得到的都是大于0的实数，因此必有\(\bar x^Tx \neq 0\)。
同理，复数矩阵若满足\(\bar A^T=A\)，则特征值也都将是实数。
特征值的性质
特征值已经证实都是实数了，那么是否还有什么其他特殊性质呢？
实际上也是有的，这里先给结论：
- 对称矩阵的主元正负个数，与特征值的正负个数一致。
- 对称矩阵的主元乘积等于特征值的乘积。它们都等于行列式的值。
根据性质1，我们可以通过消元来快速确定特征值的正负值个数，无需解\(n\)次方程。
对称矩阵的另一个视角
对角化展开： \[ A=Q\Lambda Q^T=\begin{bmatrix} q_1&q_2&...&q_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1&0&...&0 \\ 0&\lambda_2&...&0 \\ ...&...&...&... \\ 0&0&...&\lambda_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ ... \\ q_n^T \end{bmatrix} \]
由于\(q_i\)相互正交，中间的对角矩阵就相当于每一项的系数，最终得到的是:\(A=\lambda_1 q_1q_1^T+\lambda_2 q_2q_2^T+...+\lambda_n q_nq_n^T\)。
由于\(q_iq_i^T\)是单位向量，故\(q_i^Tq_i=1\)，此时就可以将\(q_iq_i^T\)改写成\(\frac{q_iq_i^T}{q_j^Tq_j}\)，显然这是投影矩阵的形式，可以理解为是\(q_j\)向\(q_i\)方向的投影。
换个角度来说：每一个对称矩阵都是一些相互垂直的投影矩阵的线性组合。
正定矩阵
正定矩阵是指满足以下条件的一类矩阵：
- 所有特征值都是正数。
- 所有主元都为正。
- 所有子行列式都为正。