线性代数笔记(九)——线性相关性、基和维数
这一讲对向量组的线性相关性、线性无关性做了进一步的阐释，之后引出向量空间中基和维数的概念。
线性相关性、基和维数
线性相关、线性无关
所谓的线性相关和线性无关是用于描述向量组中所有向量的关系，根据此前所掌握的知识，我们知道：以\(A\)中列向量组为例，如果不存在零解以外的零向量的线性组合，那么列向量组就是线性无关的，否则就是线性相关的。
进一步，如果向量组包含一个零向量，那么该向量组一定是线性相关的（零向量取任意分量，其他向量取零分量）。
总结： 给定\(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n\)是\(m\times n\)矩阵\(A\)的列向量： - 如果\(A\)零空间中有且仅有\(0\)向量，则各向量线性无关，此时有：\(rank(A)=n\)。 - 如果存在非零向量\(c\)使得\(Ac=0\)，则存在线性相关向量，此时有：\(rank(A)\lt n\)。
用此前课程所掌握的知识来描述，前者就是列满秩，此时没有自由列，也就没有自由变量，因此零空间只有零向量，因而向量组线性无关；后者则存在自由列，零空间除了零向量以外还有其他向量，因而向量组线性相关。
至此，向量组的线性相关性与矩阵的零空间就联系起来了。
基和维数
对于线性无关的情况，我们实际上关心的正是这一组“最小的”向量组：它们线性无关，且能生成相应大小的向量空间。而这恰恰就是“基”的概念。
向量空间的基本质上就是一个向量组，我们之所以额外地称这些向量组为基是因为其既有两个性质： - 向量组中的向量线性无关 - 向量组中的向量能够生成相应大小的整个向量空间
因此，如果需要确定一个向量空间，那么只需要把向量空间对应的基找出来即可，向量空间对应的基包含了这个向量空间的全部有用信息。
进一步，对于向量空间\(\mathbb{R}^n\)中的\(n\)个向量，如果想要构成基，那么以这\(n\)个向量为列向量的矩阵\(A\)必然是可逆的。
显然向量空间\(\mathbb{R}^n\)的基有无穷多个，而我们平常在选取的时候，则一般会选择标准基，所谓的标准基，就是向量空间中最明显的基，把每个基向量以一定顺序作为列向量，可以组成一个单位矩阵。另一方面，这无穷多个基有着一个共同点：基所包含的向量（基向量）的个数是一定的。而这个确定的基向量的个数实际上就表示了向量空间的大小，我们一般称其为向量空间的“维数”。
案例
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
A的各列是不是A列空间的基？
显然不是，列3是列1和列2的加和，列4和列1完全相同，A的列向量线性相关，所以不是基。这也意味着其零空间中有非零向量，不难看出\(rank(A)=2\)。可以很容易的求得\(Ax=0\)的两个解，如\(x_1=\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, x_2= \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)，而特解的个数就是自由变量的个数，所以\(n-rank(A)=2\)，即自由变量存在的列数，亦是零空间的维数。
给出A列空间的基和维数。
可以取前两列线性无关列作为基。A列空间的维数是2。
A零空间的维数是多少？
先找出零空间的基的个数，\(Ax=0\)的特解有两个（自由变量有两个），所以零空间的维数也是2。
由此观之：
- 列空间维数\(dim C(A)=rank(A), C(A)\in \mathbb{R}^m\)
- 零空间维数\(dim N(A)=n-rank(A), N(A)\in \mathbb{R}^n\)