线性代数笔记(八)——求解Ax=b：可解性和解的结构
这一讲系统的讲解了线性方程组\(Ax=b\)的求解，对可解性和解的结构进行了展开说明，得到了具体的通用解法：\(X_p+X_n\)，并按照秩与\(m,n\)的关系对解做了归类。
求解\(Ax=b\)：可解性和解的结构
我们知道\(Ax=b\)未必有解，当\(A\)的列空间无法线性组合出\(b\)时，方程组是无解的。而在有解时可能存在唯一解，也可能存在无穷多个解，那么这其中又有什么规律呢？我们尝试按照上一讲对\(Ax=0\)的研究方法来进行消元操作。
可解性
依然采用上一讲的矩阵：\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}\)，求\(Ax=b\)的特解。
这一次\(b\)不再是\(0\)向量，我们消元时写出增广矩阵： \[ \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \end{array} \right] \underrightarrow{消元} \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \end{array} \right] \]
从最后一行可见，要使\(Ax=b\)有解，则必须满足\(b_3-b_2-b_1=0\)，而这就是可解性。
我们此前按照列空间视角，对此可以给出这样的解释：\(b\)必须要属于\(A\)的列空间才有解，也就是\(A\)中各列的线性组合。
现在让我们换个角度来理解可解性：如果\(A\)中各行线性组合产生了零行，那么向量\(b\)的分量在同样的线性组合后也必须为零。
解的结构
设\(b=\begin{bmatrix} 1\\ 5\\ 6 \end{bmatrix}\)满足可解性，那么\(Ax=b\)的解是什么呢？ 直观上来看，消元以后我们得到了两个方程，但是未知数有4个，因此，理论上我们可以找到无穷多个解（因为存在自由变量）。 \[ \begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+2x_4 = 1 \\ 2x_3+4x_4 = 3 \end{cases} \]
想要求得通解，首先我们要找出特解：先让所有的自由变量取\(0\)，以解出此时主变量的值。这里自由变量是\(x_2\)和\(x_4\)，回代求得\(x_1=-2,x_3=\frac{3}{2}\)，故特解\(x_p=\begin{bmatrix}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{bmatrix}\)。
自由变量取\(0\)只是为了方便计算，实际上你想取啥都行，因为它们会被主变量抵消、毫无贡献。
显然，将特解\(x_p\)加上上一讲所学的零空间中的任意向量(写为\(x_n\))就可以得到通解：\(x=x_p+x_n\)。这是因为零空间的向量带入方程后结果永远是\(0\)，它不会影响等式（\(A(x_p+x_n)=Ax_p+Ax_n=b+0=b\)）。
而上一讲中我们得到了零空间解集为：\(x_n=c\begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}\)
因此，\(Ax=b\)的通解为\(\begin{bmatrix}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{bmatrix}\)
解与秩的关系
考虑秩为\(r\)的\(m*n\)矩阵\(A\)，显然\(r\leq m, r\leq n\)。
- 当列满秩时(\(r=n\))，消元后\(R\)为\(\begin{bmatrix}I \\ 0\end{bmatrix}\)，意味着每一列都有主元，那么也就没有自由变量，此时零空间里只有零向量，因此若\(b\)满足可解性，则解必唯一。
- 当行满秩时(\(r=m\))，消元后\(R\)为\(\begin{bmatrix}I & F\end{bmatrix}\)，意味着没有零行，此时对\(b\)就没有任何约束，那么\(Ax=b\)是必然有解，自由变量有\(n-m\)个，此时解有无穷多个。
- 当\(m=n=r\)时，行列皆满秩，消元后\(R\)为单位阵，不存在自由列，也没有零行对\(b\)进行约束，因此必有解且解唯一。
- 当不满秩，即\(r<n\)且\(r<m\)时，消元后\(R\)为\(\begin{bmatrix}I & F \\ 0 &
0\end{bmatrix}\)的形式，此时有两种情况：
- 无解。零行约束了\(b\)，但\(b\)不满足约束条件。
- 无穷多个解。\(b\)满足零行约束，解集为：特解+零空间任意向量
总结如下： \[ \begin{array}{c|c|c|c} r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n \\ R=I&R=\begin{bmatrix}I\\ 0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\ 1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array} \]