线性代数笔记(十九)——行列式公式
通过上一讲掌握的行列式10大特性，我们可以推导出行列式的一般求解公式。本讲从已知特性着手，深入讲解了行列式一般求解公式。
行列式公式
二阶行列式公式
上一讲我们有提到对于二阶行列式：\(\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)，它可以根据行列式的性质来得到： \[ \begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a&0 \\ c&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&b \\ c&d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a&0 \\ c&0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a&0 \\ 0&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&b \\ c&0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&b \\ 0&d \end{vmatrix} \]
根据性质3分解出\(2\times 2\)个行列式，其中第一项和第四项由于存在全零列，故值为0。第二项根据性质7可知值为\(ad\)，第三项根据性质2和7可知值为\(-bc\)，因此\(\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)。
从二阶到三阶
采用同样的手法，我们也可以拆分三阶行列式：先保持2、3行不变，对第1行进行拆分，得到3个行列式，再对这3个行列式的第2行进行拆分，共得到\(3\times 3\)个行列式，再接着拆分这9个行列式的第3行，最终得到\(3\times 3\times 3\)个行列式，我们忽略存在全零列的行列式，最终得到6个行列式加和： \[ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&0&0 \\ 0&a_{22}&0 \\ 0&0&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&0&0 \\ 0&0&a_{23} \\ 0&a_{32}&0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&a_{12}&0 \\ a_{21}&0&0 \\ 0&0&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&a_{12}&0 \\ 0&0&a_{23} \\ a_{31}&0&0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&0&a_{13} \\ a_{21}&0&0 \\ 0&a_{32}&0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&0&a_{13} \\ 0&a_{22}&0 \\ a_{31}&0&0 \end{vmatrix} \]
行列式\(=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\)。
根据排列组合思想，可以得出\(n\)阶行列式分解可以得到\(n!\)个非零行列式，故一般公式可以写作： \[ \det A=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}...a_{n\omega}, (\alpha, \beta, \gamma, ..., \omega)=P_{n}^{n} \]
前面的正负号，要取决于行列式转为三角阵所需行交换的步数，若步数为偶数，那么符号为正；若步数为奇数，则符号为负。
有一个比较优雅的算法来判断非零行列式的符号：统计数列的逆序数，逆序数就是从左到右遍历当前排列中的每一个数，统计它的右侧有几个数比自己小，最终加和求得。比如对于排列\((4,3,2,1)\)来说，它的逆序数就是\(3+2+1=6\)，逆序数为偶数故为偶排列，否则就是奇排列。偶排列符号取正，奇排列符号取负。
代数余子式
将三阶行列式的一般公式做一下合并同类项： \[ a_{11}(a_{22}a_{33}-a{23}a{32})+a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{32})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) \]
合并后，我们发现上式可以看成： \[ \begin{vmatrix} a_{11}&0&0 \\ 0&a_{22}&a_{23}\\ 0&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&a_{12}&0 \\ a_{21}&0&a_{23}\\ a_{31}&0&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0&0&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&0 \\ a_{31}&a_{32}&0 \end{vmatrix} \]
也就是： \[ a_{11}(\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix})+a_{12}(-\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23} \\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix})+a_{13}(\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}) \]
这就表明，3阶行列式由多个2阶行列式组成。由此递推，\(n\)阶行列式就是由多个\(n-1\)阶行列式组成。由此，我们就找出了自顶向下的递归关系。
实际上，括号里的部分我们称作代数余子式，比如\((a_{22}a_{33}-a{23}a{32})\)就是\(a_{11}\)的代数余子式。对于选定元素\(a_{ij}\)，其代数余子式为：将原行列式的第\(i\)行与第\(j\)列元素全部抹去，剩余的\(n-1\)阶行列式再取正负，得到的算式就是代数余子式，一般记为\(C_{ij}\)。那么这个正负要怎么判断呢？可以根据\(i,j\)来判定： \[ C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det(去掉i行j列的n-1阶方阵) \]
使用代数余子式可以将一般计算公式简写作：\(\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n}\)。
代数余子式的计算方式相比于借助行列式的特性、消元成三角阵求主元乘积的方法来说其实更麻烦一些。但是这里之所以探索一般公式，主要是为了挖掘\(n\)阶行列式与\(n-1\)阶行列式之间的关系，由此而递归下去。
有趣的示例
现有:\(A_1=1\)，\(A_2=\begin{vmatrix}1&1 \\ 1&1 \end{vmatrix}\), \(A_3=\begin{vmatrix}1&1&0 \\ 1&1&1 \\ 0&1&1\end{vmatrix}\), \(A_4=\begin{vmatrix}1&1&0&0 \\1&1&1&0\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\end{vmatrix}\)。寻找行列式之间的规律。
容易求得\(A_1=1,A_2=0,A_3=-1\)。我们可以发现\(A_4\)的方阵按第一行展开，由于只有\(a_{11}和a_{12}\)非零，故拆分成代数余子式的形式有： \[ A_4=1*\begin{vmatrix} 1&1&0 \\ 1&1&1 \\ 0&1&1 \end{vmatrix}+(-1)*\begin{vmatrix} 1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 0&1&1 \end{vmatrix} \]
其中第二项我们发现第一列只有1个元素非零，也就是说如果继续拆分到\(A_2\)的组合，非零项只有1个，故上式相当于：\(A_4=A_3-A_2\)，因此求得\(A_4=-1\)。
实际上，这个矩阵十分特殊，它存在着这样的规律：\(A_n=A_{n-1}-A_{n-2}\)，行列式对应的值是一个数列：\(1,0,-1,-1,0,1\)，以6为周期。