线性代数笔记(十八)——行列式及其性质

从本讲开始进入线性代数的第二部分：行列式与特征值。许多国内教材都是把行列式放在第一章，这对于理解线性代数这门语言来说是非常离谱的操作。行列式因方阵而生，它的值与特性与方阵息息相关，在求解特征值过程中行列式发挥了极大的作用。我们要着重于理解其背后的机理、探索本质，而不是死记硬背几个公式或是掌握一些trick手法解几道算术题。

行列式及其性质

每个方阵都有行列式，行列式是跟该方阵有关的一个数字，行列式的值隐含了该方阵的许多特性，例如，行列式为\(0\)的方阵一定不可逆，可逆的方阵行列式值一定不为\(0\)。

行列式数学上写作\(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\)，一般记为\(\det A\)。

行列式的三大基础特性

• 性质1：单位阵 \(\det I=1\)。
• 性质2：交换任意两行后，行列式值的符号取反。
• 性质3：
  • a: 行列式可以按行提取矩阵的系数，即:\(\begin{vmatrix}ta&tb \\ c&d \\ \end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b \\ c&d\end{vmatrix}\)。
  • b: 行列式的行具有线性，即：\(\begin{vmatrix} a+a'&b+b' \\ c&d \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a&b \\ c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a'&b' \\ c&d\end{vmatrix}\)

注意3b里的线性是指行的线性，而非行列式具有线性。

衍生推导特性

其他的特性都可以根据三大基础特性来进行推导，它们也十分重要，在我们计算行列式和推导其他特性的过程中常常用到。

• 性质4：如果存在相等的两行，则行列式为\(0\)。 可以用性质2来证明，交换相等的两行，行列式的值会取反，但此时方阵并没有任何改变，因此只有行列式为\(0\)值才能满足性质2。
• 性质5：从\(k\)行中减去\(i\)行的\(l\)倍，行列式不发生改变。换言之，行列式不因矩阵消元而改变。 这一性质对列变换也同样生效（相当于先转置，行变换后再转置回来，就是列变换）。 根据性质3，可知： \[ \begin{vmatrix} a&b \\ c-la&d-lb \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}-l\begin{vmatrix} a&b \\ a&b \end{vmatrix} \] 再根据刚推导的性质4，等号右边第二项行列式为\(0\)，性质5得证。
• 性质6：如果方阵的某一行全为\(0\)，则行列式为\(0\)。 由性质3或性质5推理显然。
• 性质7：上三角\(U\)方阵的行列式值等于对角线上元素的乘积。\(\det U=d_1d_2\cdot d_n\)： \[ U=\begin{vmatrix} d_1&*&...&* \\ 0&d_2&...&* \\ ...&...&...&... \\ 0&0&...&d_n \end{vmatrix} \] 由性质5，从最后一行开始，将对角线元素上方的非零元素依次变为\(0\)，行列式值不变。此时可以得到只有对角线元素的对角阵\(D\)。再根据性质3a，提取所有的对角线元素\(d_i\)华为单位阵，结合性质1得证。
• 性质8：当且仅当\(A\)是奇异矩阵时（不可逆），\(\det A=0\)。 由性质7，如果\(A\)是可逆，那么消元得到的上三角\(U\)对角线上的各行都有主元，行列式必不为\(0\)。反之，消元后会出现全零行，有性质6可知行列式为\(0\)。
• 性质9：\(\det AB=\det A \cdot \det B\)，行列式具备乘法性质。 由性质5，可以把\(A\)和\(B\)通过行变换最终转为对角阵\(A',B'\)，此时\(\det A'=\det A, \det B'=\det B\)。而两个对角矩阵相乘的结果显而易见： \[ \begin{bmatrix} a_1&0&...&0 \\ 0&a_2&...&0 \\ ...&...&...&...\\ 0&0&...&a_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1&0&...&0 \\ 0&b_2&...&0 \\ ...&...&...&...\\ 0&0&...&b_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1&0&...&0 \\ 0&a_2b_2&...&0 \\ ...&...&...&...\\ 0&0&...&a_nb_n \end{bmatrix} \] 由性质7可知\(\det A'B'=(a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n)(b_1\cdot b_2\cdot ...\cdot b_n)\)，故\(\det A'B'=\det A' \det B'\)。另一方面，\(AB\)转为\(A'B'\)的过程实际上就是分别左乘一个矩阵对\(A\)做行变换，再右乘一个矩阵对\(B\)做列变换，得到\(A'B'\)，由性质5可知\(\det AB=\det A'B'\)，故\(\det AB = \det A \det B\)。

根据性质9，可以轻松求得\(A\)逆矩阵的行列式，因为\(\det I=\det A^{-1} \cdot \det A=1\)，所以行列式互为倒数（如果\(A\)不可逆，可以看出式子也不成立）。此外还可以看出\(\det A^2=(\det A)^2\)。

• 性质10：\(\det A^T=\det A\)。 \(A=LU\)，可知\(A^T=U^TL^T\)，根据性质9：\(\det A^T=\det U^T \det L^T, \det A=\det U \det L\)，且已知三角阵转置后还是三角阵，故\(\det U=\det U^T, \det L^T=\det L\)，因此\(\det A^T=\det A\)。

二阶方阵的行列式

根据上述的性质，我们可以很容易推出二阶方阵：\(\begin{vmatrix}a&b\\ c&d \end{vmatrix}\)的行列式为\(ad-bc\)。

熟练掌握这些行列式的特性，不仅可以让我们快速求解行列式，还可以看出矩阵的变换与行列式变化的联动关系。

附录

视频

参考链接

• 行列式介绍
• 行列式及其性质
• 线性代数的艺术