线性代数笔记(十七)——正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
书接上一回标准正交基,讲述了该正交向量组的特性与优势,并介绍了一种将一组向量标准化为标准正交向量组的重要方法:Gram-Schmidt正交化。
正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
标准正交基
标准正交向量组构成的空间基被称为标准正交基,它有两个特性:对标准正交向量组中任意向量
即:向量彼此垂直,模均为
标准正交矩阵
将标准正交向量组中的
显然,正交矩阵
正交矩阵
特别地,当
正交矩阵有更丰富的性质,此时的方阵
置换矩阵就是个经典案例。
标准正交矩阵的应用
标准正交矩阵可以应用到投影矩阵上,我们知道:
- 是对称阵,即
- 乘方不变性,即
此外,对于前两讲中的拟合方程:
这个式子的物理意义就是:对已知标准正交基,向量
在第 个基上的投影就是对应基向量 。
因此,如果我们选择标准正交向量组作为基时,投影矩阵相关公式中的诸多计算都得到了极大的简化。
Gram-Schmidt正交化
在标准正交矩阵的应用中我们可以看到,如果能够在实际运算中采用标准正交向量组,那就可以简化相当多的运算量。然而实际情况是,我们往往拿到的都只是一组线性无关的向量,它们恰好构成标准正交基的可能性微乎其微。那么有没有一种方法,可以将任意的线性无关向量组转换为标准正交基呢?
答案是肯定的,这种方法就是”Gram-Schmidt正交化“。
Gram-Schmidt正交化的过程很简单:
第一步转为正交向量的过程被称作Graham,第二步标准化为模1的过程被称作Schmidt。
第二步标准化的过程很好理解,对每个分量除以模量即可,正交化的过程关键在于第一步,怎么找到
以不共线的两个
我们先将
式子里
得到
延展到三维空间,对于向量
最后再对
示例
有
解:
先固定
标准化后得到:
引申:矩阵的QR分解
用消元法视角来看
以同样的眼光来看Gram-Schmidt正交化,有
显然左下角