线性代数笔记(六)——列空间和零空间
这一讲主要介绍了列空间和零空间。二者都是四个基本子空间的重要成员。
列空间和零空间
子空间的并和交
某向量空间的两个子空间\(S\)和\(T\)，它们的并（\(S\cup T\)）不一定是子空间，但它们的交(\(S\cap T\))一定是子空间，这一点是显而易见的：以\(R^3\)举例，过原点的某个平面\(P\)是一个子空间，过原点的某条直线\(L\)也是一个子空间，如果\(L\)不在平面\(P\)上，那么我们从原点出发，取\(L\)上的任意向量\(v\)和平面\(P\)上的任意向量\(w\)，对二者进行加法操作，得到的向量\(v+w\)既不在平面\(P\)上，也不在直线\(L\)上，所以子空间的交不一定是子空间（直线\(L\)在平面\(P\)上时才是）；而对于\(P\)和\(L\)的交来说，要么只有一个原点，要么是\(L\)（此时\(L\)在平面\(P\)之内），它们的交依然是一个子空间。
沿此思路扩展到高维空间亦是如此，子空间的并放宽了限制条件导致规则被破坏，而子空间的交则实际上是进行了更严格的限制，(\(S\cap T\))既满足\(S\)的法则，也满足\(T\)的法则，因此它当然是子空间。
严格的证明需要对数乘封闭和加法封闭分别进行论证。
列空间大小
\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{m(n-1)} & a_{mn} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix} \]
矩阵\(A\)的列空间是由它的各列线性组合构成。在探究列空间的大小时，又将回到这个问题：\(Ax=b\)是否对任意的\(b\)都有解？或者退一步，什么样的\(b\)方程组才有解？
从列空间的视角出发，这一问题有更加具象的回答方式：\(Ax=b\)有解，当且仅当\(b\)属于\(A\)的列空间。只有当\(b\)是\(A\)各列的线性组合时，\(Ax=b\)才有解。
举个例子： \[ Ax=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{bmatrix}=b \]
\(A\)的三个列向量构成的是\(R^4\)的一个子空间，由于列向量仅有3个，显然无论如何线性组合也无法铺满整个四维空间（正如两个三维向量无法铺满整个三维空间一样，它最多只能构成一个平面），因此，我们无法保证任意的向量\(b\)，方程组都有解。当且仅当\(b\)在三个列向量构成的\(R^4\)子空间之内时，方程组才有解。
此外，我们还注意到，第三个列向量\(\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}\)是前两个列向量的线性组合（两者相加），也就是说，第三个列向量对于线性组合来说毫无贡献，三个列向量最终形成的是一个\(R^4\)空间内的平面。
因此，矩阵列空间的大小实际上与各列的线性无关性有关系，越多的列线性无关，那么它们能构成的列空间就越大，越多的列线性相关，那么其中相关的那一部分对列空间的构建就毫无贡献。
零空间
所谓零空间，就是由\(Ax=0\)的所有解向量\(x\)构成的空间。
还是考虑上例： \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=0 \]
\(x\)有三个分量，所以\(x\)构成的是一个\(R^3\)的子空间。因此，对于\(m*n\)的矩阵来说，其列空间是\(R^m\)的子空间（列向量的维数），零空间是\(R^n\)的子空间（列向量的个数）。
显然，零空间一定包含零向量：所有\(x_i\)都为0显然是一个解，另一方面，不难证明零空间本身也是一个向量空间，满足矩阵加法与数乘的封闭性。
零空间内任取两个向量\(v\)和\(w\)，由于\(Av=Aw=0\)，故\(A(v+w)=0\)，\(c(Av)=A(cv)=0\)，证毕。
特别注意：零空间不是零向量空间，零向量空间只包含一个零向量，本质上是\(R^0\)，零空间是一种子空间，可以包含无数个向量。
针对上例，由于第三列是前两列的加和，我们可以轻松拿到一个特解：\(\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\)，其零空间就是：\(C\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\)（\(C\)表示任意常数），即\(R^3\)中的一条过原点的直线。
思考
如果\(b\not=0\)，那么对于\(x\)的求解是否也能够找到一个向量空间呢？
答案是不能：若 \(b\not=0\)，那么\(x\)就不可能等于\(0\)，这就意味着如果要形成向量空间，那么它无法包含零向量，这一点就已经违背了空间的法则。因此，解集无法构成一个向量空间。