线性代数笔记(五)——转置、置换和向量空间R
这一讲内容包括转置、置换和向量空间\(R\)，实际上是基于\(A=LU\)的剖解提纲挈领，形而上学，引出线性代数的核心内容——向量空间。
转置、置换和向量空间R
对于可逆矩阵\(A\)，在消元过程中可能会遇到主元为0的情况，此时就需要进行行变换，而行变换的本质实际上就是左乘一个置换矩阵\(P\)而已。上一讲中已经讲过了置换矩阵\(P\)，当它左乘矩阵\(A\)时，从行视角来看实际上就是对\(A\)的行进行交换。当行变换找到新的不为0的主元时，消元得以继续进行。所以完全体应该写作\(PA=LU\)。
对称矩阵
转置以后矩阵没有发生变化的矩阵，称为对称矩阵，即\(A^T=A\)（置换矩阵群中有4个就是对称矩阵）。例如： \[ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & 9 \\ 7 & 9 & 4 \end{bmatrix} \]
如何得到对称阵呢？一种简单的生成方法是：矩阵的转置和矩阵自身相乘\((R^TR)\)。
证明如下： \[ (R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR \]
可以看到，\(R^TR\)转置后还是\(R^TR\)，故为对称阵。
向量空间
所谓向量空间，它表示的是由一组向量集合共同构成的某个空间。然而，并非任意的向量集合都可以组成空间，空间必须得满足这一法则：对线性运算（加法与数乘）封闭。如果集合内任意向量的线性运算结果仍然在空间之内，那么构成的就是向量空间。显然，向量空间至少包含原点（\(v-v=0\)），也就是零向量。
高维向量空间又包含各种低维的向量子空间。
二维向量空间
对于\(R^2\)来说，向量空间内的子空间可以轻易的枚举：
- \(R^2\)本身（构成一个平面）
- 任何过原点的直线
- 零向量空间(只包含零向量)
三维向量空间
进一步，扩展到\(R^3\)，子空间就多了一个维度：
- \(R^3\)本身
- 任何过原点的平面
- 任何过原点的直线
- 零向量空间(只包含零向量)
显然，\(R^2\)的向量子空间是更高维度\(R^3\)子空间的子集，以此类推。
列空间简述
那么矩阵是如何构建向量子空间的呢？显而易见的方法是通过枚举列向量来构造：即选取各列进行线性组合，所有线性组合的结果构成的就是一个特定的子空间，这个子空间一般称作矩阵的列空间，记为\(C(A)\)，它也是矩阵4大子空间中的一个。
这一讲主要是为了让大家先接受向量空间这一概念，因为线性代数的核心都是围绕着向量空间来描摹，如果不能在脑海中将矩阵投射成向量空间来理解，那么后续的课程也都无法真正掌握。